lunes, 3 de junio de 2013

Ternas Pitagóricas II

En la entrada anterior dábamos un método para obtener ternas pitagóricas a partir de tres parámetros.
En esta veremos qué valores puede tomar la hipotenusa de una terna pitagórica primitiva. Ya sabemos que es impar, pero no todos los impares pueden ser la hipotenusa de una TPP.

Por lo que vimos en la entrada anterior, si $c$ es la hipotenusa de una TPP, existirán dos naturales $u$ y $v$, primos entre sí y de distinta paridad, tales que $c=u^2+v^2$.

Para encontrar los posibles valores de $c$, necesitaremos unos cuantos resultados de aritmética modular, aunque expresaré los enunciados sin recurrir a ella para facilitar la comprensión. Las demostraciones, en cambio, recurren a herramientas de álgebra propias de un primer curso universitario.


Teorema 1: Si un número primo $p$ es congruente con $1$ módulo $4$ (es decir, si al dividir $p$ entre $4$ se obtiene $1$ de resto) entonces existe un número natural $n$ tal que $n^2+1$ es múltiplo de $p$.

Demostración:  El conjunto $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ será un cuerpo con $p$ elementos. Si multiplicamos todos ellos (excluido el $0$), teniendo en cuenta que $(p-1)/2$ es par, obtenemos:
$$\prod_{k=1}^{p-1} k \equiv_p\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(-k^2)\equiv_p (-1)^{(p-1)/2}n^2\equiv_p n^2$$
para un cierto número natural $n$.
Por otro lado, el Teorema de Wilson nos asegura que
$$\prod_{k=1}^{p-1} k \equiv_p -1$$
de lo cual se deduce que $n^2 \equiv_p -1$, como se quería demostrar.


Para probar el siguiente teorema, necesitaremos el anterior. También será crucial una propiedad del anillo $\mathbb{Z}[i]$, que es el conjunto formado por los complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros. Estos números se llaman "enteros de Gauss".
Igual que en el conjunto $\mathbb{Z}$, en el conjunto de los enteros de Gauss hay números primos, y se cumple el teorema fundamental de la aritmética, a saber, que la factorización de un entero de Gauss existe y es única. Por ello se dice que el anillo de los enteros de Guass es un dominio de factorización única (DFU).
En dicho DFU las unidades son $1$, $i$, $-1$ y $-i$. Los números que se obtienen al multiplicar un entero de Gauss $z$ por una unidad se llaman "asociados" de $z$.


Teorema 2: Sea $p$ un número primo impar. Los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. Existen dos naturales $u$ y $v$ tales que $p=u^2+v^2$.
  2. Al dividir $p$ entre $4$ se obtiene $1$ de resto.
Demostración: Suponiendo cierto el primer enunciado, como $p$ es un primo impar, necesariamente $u$ será par y $v$ impar (o viceversa). Podemos entonces afirmar que existen naturales $m$ y $n$ tales que
$$p=(2m)^2+(2n-1)^2=4m^2+4n^2-4n+1 \equiv_4 1$$
lo que demuestra el segundo.
Recíprocamente, si suponemos el segundo, estamos en condiciones de aplicar el teorema anterior. Es decir, existe un natural $n$ tal que
$$p|n^2+1=(n+i)(n-i)$$
donde $i$ es, como es habitual, la unidad imaginaria. Como $\mathbb{Z}[i]$ es un DFU, y $p$ no divide a $n+i$ ni a $n-i$, se deduce que $p$, a pesar de ser primo en $\mathbb{Z}$, no es primo en $\mathbb{Z}[i]$, es decir, que existe un primo $z$ de $\mathbb{Z}[i]$ que divide a $p$, $p=zw$. Pero también será entonces $p=\bar z\bar w$, por lo que $\bar z$ también divide a $p$. Así que $z\bar z=|z|^2$ divide a $p^2$. Es decir, que $|z|^2$ debe ser $1$, $p$ o $p^2$. No puede ser $1$ porque $z$ no es una unidad, y tampoco puede ser $p$ porque $p$ es primo, es decir, que $|z|=p$. O si ponemos que $z=u+iv$,
$$p=u^2+v^2$$
como queríamos probar.


Ya hemos hecho el trabajo más duro. Hemos probado que todo primo $p$ de la forma $4n+1$ se puede escribir como la suma de dos cuadrados, y por tanto puede ser la hipotenusa de una TP, y al ser $p$ primo, será una TPP. Por ejemplo, el $5$ es la hipotenusa en la terna $(3,4,5)$ y el $13$ lo es de la terna $5, 12, 13)$. No podemos eliminar la condición de que el número sea primo, ya que el $21$, por ejemplo, no es la hipotenusa de ninguna TPP (ni, por cierto, de ninguna TP).
Sin embargo, algunos números compuestos sí pueden ser la hipotenusa de una TPP. Por ejemplo, el $65$, ya que $(16,63,65)$ y $(33,56,65)$ son ambas TPP.


Teorema 3: Si $m$ es un número impar que se puede escribir como suma de cuadrados primos entre sí y $p$ es un primo de la forma $4n+1$, entonces $mp$ también se puede escribir como suma de cuadrados de al menos dos formas, y en al menos una de ellas los cuadrados son primos entre sí.

Demostración: Pongamos $m=a^2+b^2$ y, por el teorema 2, $p=u^2+v^2$, donde $a$ y $b$ son primos entre sí y $u$ y $v$ también. Entonces
$$mp=(a+ib)(u+iv)(a-ib)(u-iv)=(au-bv)^2+(av+bu)^2$$
y
$$mp=(a+ib)(u-iv)(a-ib)(u+iv)=(au+bv)^2+(-av+bu)^2$$
por lo que ya la prueba se reduce a verificar que o bien $au-bv$ y $av+bu$ son primos entre sí, o bien $au+bv$ y $-av+bu$ son primos entre sí.

Para ello supondremos que $q$ es un primo que divide simultáneamente a $au-bv$ y a $av+bu$, de lo que deducimos que $q|auv-bv^2$ y $q|auv+bu^2$.
Restando obtenemos que $q|b(u^2+v^2)=pb$.
Si $q|b$ entonces $q|au$ y $q|av$. Como $a$ y $b$ son primos entre sí, $q$ no es divisor de $a$, así que divide a $u$ y a $v$, lo que contradice que $u$ y $v$ son primos entre sí. Por tanto $q$ no divide a $b$.
Así que resulta que $p=q$.
De un modo muy similar podemos deducir que si $q'$ divide a $au+bv$ y a $-av+bu$, entonces $p=q'$.

Luego si ninguna de las parejas de números fueran primos entre sí, $p$ sería divisor de $au+bv$ y de $au-bv$. Sumando y restando vemos que $p$ dividiría a $2au$ y a $2bv$. Como $p$ es impar y no divide a $u$ ni a $v$ (ya que es mayor que ambos), resulta que $p|a$ y $p|b$, lo que contradice que $a$ y $b$ son primos entre sí. Con este razonamiento termina la prueba.


Estamos en condiciones de concluir el trabajo:


Teorema 4: Sea $c$ un número natural. Los siguientes enunciados son equivalentes:
  1. $c$ es la hipotenusa de una TPP.
  2. Todos los divisores primos de $c$ son congruentes con $1$ módulo $4$ (es decir, de la forma $4n+1$).
Demostración: Suponiendo el enunciado $1$, deducimos que existen dos naturales $u$ y $v$ que son de distinta paridad y primos entre sí tales que $c=u^2+v^2=(u+iv)(u-iv)$. Supongamos que $p$ es primo y divide a $c$. Entonces:
  • Como $c$ es impar, $p\neq 2$.
  • Como $u$ y $v$ son primos entre sí y $p$ divide a $c$, $p$ no puede dividir a ninguno de los dos.
  • Se deduce que $p$ no puede ser un primo de $\mathbb{Z}[i]$, es decir, que $p$ ha de ser suma de cuadrados (se demuestra igual que en el Teorema 2).
Concluimos, en virtud del Teorema 2, que $p \equiv_4 1$.

Suponemos ahora que se cumple el enunciado 2. En virtud de los teoremas 2 y 3, se deduce inmediatamente que $c$ es suma de cuadrados. Al ser $c$ impar, dichos cuadrados serán de distinta paridad. Nuevamente el teorema 2 (aplicado de forma reiterada para cada factor primo de $c$) asegura que dichos cuadrados pueden elegirse primos entre sí.

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