martes, 4 de junio de 2013

Obtención de un polinomio de tercer grado con raíces enteras cuya derivada tiene raíces enteras

Es un ejercicio muy habitual en bachillerato hallar los puntos de corte con el eje de abscisas, los máximos y los mínimos y los puntos de inflexión de una función.
El alumno, en general, se sentirá más seguro de su labor cuando los resultados que obtiene son enteros, o, al menos, racionales. Por ello, considero que encontrar funciones cuyos puntos de corte con los ejes, máximos, mínimos y puntos de inflexión cumplan estos requisitos tiene un innegable valor didáctico.

En esta entrada abordaremos el problema con uno de los casos más sencillos: los polinomios de tercer grado. Las abscisas de estos puntos "importantes" sólo dependen de las raíces que tenga el polinomio, por lo que podemos considerar que es mónico. Partimos pues, de la siguiente función:
$$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$$
donde $a$, $b$ y $c$ son enteros distintos y no nulos.
Derivando, queda que
$$f'(x)=(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)$$

Supongamos que $m$ es una raíz entera de $f'(x)$. Entonces, hacemos $p=m-a$, $q=m-b$, $r=m-c$ y obtenemos que $pq+pr+qr=0$, o, lo que es equivalente,
$$\frac 1p+\frac 1q+\frac 1r=0$$

Para que esta igualdad sea posible, de los números $p$, $q$ y $r$, dos serán positivos y uno negativo, o viceversa. Empezaremos asumiendo que $p>0$, $q>0$ y $0>r$. De la igualdad
$$\frac{p+q}{pq}=-\frac 1r$$
deducimos que $p+q$ divide a $pq$.

Sea $d=$mcd$(p,q)$. Sea $p'=p/d$, $q'=q/d$. Entonces $p'+q'$ divide a $dp'q'$ y los números $p'$ y $q'$ son primos entre sí. Y como $p'+q'$ es primo con $p'$ y con $q'$, necesariamente $p'+q'$ divide a $d$.

Entonces, un método para obtener un polinomio de estas características sería el siguiente:

  1. Elegimos dos números $p'$ y $q'$ positivos y primos entre sí, y un múltiplo $d$ cualquiera (puede ser negativo) de $p'+q'$. Ponemos $p=dp'$, $q=dq'$, $r=-\frac{pq}{p+q}$. Esta fracción es en realidad un número entero.
  2. Elegimos otro número entero cualquiera $m$, y ponemos $a=m-p$, $b=m-q$, $c=m-r$. El polinomio con raíces $a$, $b$ y $c$ es el polinomio buscado.

No hay comentarios:

Publicar un comentario