Este razonamiento se basa en la siguiente propiedad de $\mathbb{N}$:
Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{N}$. Si para todo $n\in A$ existe otro $m\in A$ tal que $m < n$ entonces $A=\emptyset$.
Que no es más que otra forma de decir que todo subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene mínimo, es decir, que el orden habitual de $\mathbb{N}$ es un buen orden.
Con esta técnica se puede demostrar que la ecuación diofántica $x^4+y^4=z^2$ no tiene soluciones naturales.
En efecto, supongamos que sí la tiene, y que $z$ es mínimo posible, es decir, sea $A=\{\zeta\in\mathbb{N} : (\exists x,y\in\mathbb{N}):x^4+y^4=\zeta^2\}$ y $z$ el elemento mínimo de $A$.
Entonces $(x^2,y^2,z)$ es una terna pitagórica primitiva (TPP). Por tanto (según se demostró aquí), existen dos enteros $u$ y $v$ de distinta paridad y primos entre sí tales que
$$\begin{array}{rcl}z&=&u^2+v^2\\x^2&=&u^2-v^2\\y^2&=&2uv\end{array}$$
De la segunda ecuación se deduce que $(v,x,u)$ es una TPP, por lo que $u$ es impar, así que $v$ es par, y $u$ y $2v$ son primos entre sí. Como $2uv$ es un cuadrado perfecto, $u$ y $2v$ serán cuadrados perfectos. Poniendo que $v=2w$:
$$\begin{array}{rcl}u&=&m^2\\w&=&n^2\end{array}$$
pero entonces
$$x^2=m^4-4w^4$$
es decir, que $(2w^2, x, m^2)$ es una terna pitagórica, y será primitiva porque $x$ es primo con $u$, y por tanto con $m$. Entonces,
$$\begin{array}{rcl}m^2&=&u_1^2+v_1^2\\2w^2&=&2u_1v_1\end{array}$$
Y como $u_1$ y $v_1$ son primos entre sí, $u_1=m_1^2$ y $v_1=n_1^2$, con lo que
$$m^2=m_1^4+n_1^4$$
es decir, que $m\in A$, pero $m\leq m^2 = u \leq u^2< u^2+v^2 = z$, lo que contradice que $z$ es el elemento mínimo de $A$. Por tanto $A=\emptyset$, es decir, la ecuación diofántica no tiene soluciones naturales.
es decir, que $m\in A$, pero $m\leq m^2 = u \leq u^2< u^2+v^2 = z$, lo que contradice que $z$ es el elemento mínimo de $A$. Por tanto $A=\emptyset$, es decir, la ecuación diofántica no tiene soluciones naturales.
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