Ecuación diofántica $a^2-ab+b^2=c^2$

Buscando una solución al problema de encontrar un polinomio de tercer grado con raíces enteras cuya derivada tenga una raíz entera, del cual se habla en otra entrada de este blog, di con una forma de resolver la ecuación diofántica planteada en el título, con soluciones no triviales, como

$$\begin{array}{c}a=5, b=8, c=7\\a=7, b=15,c=13\end{array}$$

Para ello comenzamos con un teorema que relaciona las soluciones de esta ecuación los la clase de polinomios antes mencionada:

Teorema: Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. La derivada del polinomio $x(x-a)(x-b)$ tiene una raíz entera si y sólo si $a^2-ab+b^2$ es un cuadrado perfecto.

Demostración: Dicha derivada no es otra que

$$x(x-a+x-b)+(x-a)(x-b)=3x^2-2(a+b)+ab$$

Si este polinomio tiene dos raíces racionales, serán ambas enteras (si $a$ y $b$ son múltiplos de $3$) o bien una será entera y la otra tendrá denominador $3$. En cualquier caso, esto ocurrirá sólo si el discriminante

$$\Delta=4(a+b)^2-12ab=4(a^2-ab+b^2)$$

es cuadrado perfecto.

Ahora resolvemos la ecuación.

Supongamos que $a$, $b$ y $c$ son solución de la ecuación, es decir, que

$$a^2-ab+b^2=c^2$$

Entonces el polinomio $x(x-a)(x-b)$ tiene raíces enteras y su derivada tiene al menos una raíz entera $m$. Según lo visto en la entrada antes mencionada, existen números $p$, $q$ primos entre sí y un entero no nulo $k$ tales que $m=-kpq$, $m-a=kp(p+q)$ y $m-b=kq(p+q)$, o sea

$$\begin{array}{rcl}a&=&kp(p+2q)\\b&=&kq(2p+q)\end{array}$$

Estas son efectivamente soluciones de la ecuación, ya que

$$[kp(p+2q)]^2+[kq(2p+q)]^2-k^2pq(p+2q)(2p+q)=k^2(p^2+pq+q^2)^2$$

Es decir, $c=k(p^2+pq+q^2)$.